Mathe

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  • Der empirische Wahrscheinlichkeitsbegriff
• Anzahl Lebendgeborene im Kanton Zürich
  • Der Abstrakte Wahrscheinlichkeitsgegriff
  • 13.2 Mehrstuffige Zufallsversuche / Baumdiagramme

Textaufgaben - Individuell

aufgaben

A91)

Zwei Ziffern bilden eine natürliche Zahl, die viermal so gross ist wie ihre Quersumme und um 9 kleiner als ihre Spiegelzahl. Bestimme die beiden Ziffern.

Gleichung 1: $10x + y = 4(x + y)$

$$\begin{align*} 10x + y &= 4(y + x) \\ 10x + y &= 4y + 4x&& \text{| -4y -4x}\\ 6x - 3y &= 0 && \text{| : 3} \\ 2x - y &= 0 && \text{|+y} \\ 2x &= y \end{align*}$$

Gleichung 2: $10y + x = 10x + y + 9$

$$\begin{align*} 10y + x &= 10x + y + 9 && \text{|$-10x -y$} \\ 9y -9x &= 9 &&\text{| $:9$}\\ y - x &= 1 \end{align*}$$

Lösung für X

$$\begin{align*} 2x &=(y-1)*2&& \text{|$:2$} \\ x &= {y-1} &&\text{| y durch x ersetzen} \\ x &= 2x -1 &&\text{| -2x} \\ -x &= -1 &&\text{| *-1} \\ x &= 1 \end{align*}$$

Lösung für Y

$$\begin{align*} 2x &= y &&\text{| x durch 1 ersetzen} \\ 2*1 &= y &&\text{| :2} \\ 2 &= y \end{align*}$$

Lösung
Die beiden Ziffern sind 1 und 2.

A107)

Wenn man 90 g einer Goldsorte mit 60 g einer zweiten Sorte legiert, so erhält man Gold mit der Feinheit 805. Legiert man aber 20 g der ersten Sorte mit 100 g der zweiten, so hat die Legierung die Feinheit 675. Welche Feinheit besitzt jede Sorte? (Feinheit f: auf 1000 Gewichtsteile kommen f Gewichtsteile Feingold.)
Gleichung 1: $\frac{90x + 60y}{150} = 805$

$$\begin{align*} \frac{90x + 60y}{150} &= 805 &&\text{| *150} \\ 90x + 60y &= 120750 &&\text{| :30} \\ 3x + 2y &= 4025 \end{align*}$$

Gleichung 2: $\frac{20x + 100y}{120} = 675$

$$\begin{align*} \frac{20x + 100y}{120} &= 675 &&\text{| *120} \\ 20x + 100y &= 81000 &&\text{| :20} \\ x + 5y &= 4050 \end{align*}$$

Lösung für Y

$$\begin{align*} x + 5y &= 4050 &&\text{| Wir stellen zuerst einen Term für x auf} \\ x &= 4050 - 5y &&\text{| x in Gleichung 1 einsetzen} \\ 3(4050 - 5y) + 2y &= 4025 &&\text{| Auflösen} \\ 12150 - 15y + 2y &= 4025 &&\text{| $-12150$} \\ 12150 - 13y &= 4025 &&\text{| $+13y -4025$} \\ 12150 - 4025 &= 13y \\ 8125 &= 13y &&\text{| :13} \\ y &= 625 \end{align*}$$

Lösung für X

$$\begin{align*} x + 5y &= 4050 &&\text{| y durch 625 ersetzen} \\ x + 5*625 &= 4050 \\ x + 3125 &= 4050 &&\text{| $-3125$} \\ x &= 4050 - 3125 \\ x &= 925 \end{align*}$$

Lösung
Die Feinheit der ersten Sorte beträgt 925 und die Feinheit der zweiten Sorte beträgt 625.

A117)

Ein Schiff benötigt für eine 25 km lange Strecke stromabwärts 50 min, stromaufwärts 90 min. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Schiffes gegenüber dem Wasser sowie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Wassers. (Ergebnis auf ganze km genau)

Gleichung 1: $25 = (v + w) * \frac{50}{60}$

$$\begin{align*} 25 &= (v + w) * \frac{5}{6} &&\text{| *6} \\ 150 &= 5v + 5w &&\text{| :5} \\ 30 &= v + w \end{align*}$$

Gleichung 2: $25 = (v - w) * \frac{90}{60}$

$$\begin{align*} 25 &= (v - w) * \frac{3}{2} &&\text{| *2} \\ 50 &= 3v - 3w &&\text{| :3} \\ 16,\overline{6} &= v - w \end{align*}$$

Lösung für V:

$$\begin{align*} 30 &= v + w &&\text{| $-w$} \\ 30 - w &= v &&\text{| in Gleichung 2 einsetzen} \\ 16,6667 &= 30 - w - w &&\text{| Auflösen} \\ 16,6667 &= 30 - 2w &&\text{| $-30$} \\ -13,3333 &= -2w &&\text{| $:-2$} \\ 6,6667 &= w \end{align*}$$

Lösung für W:

$$\begin{align*} 30 &= v + w &&\text{| $-v$} \\ 30 - v &= w &&\text{| in Gleichung 2 einsetzen} \\ 16,6667 &= v - (30 - v) &&\text{| Auflösen} \\ 16,6667 &= 2v - 30 &&\text{| $+30$} \\ 46,6667 &= 2v &&\text{| $:/2$} \\ 23,3333 &= v \end{align*}$$

Lösung: Die mittlere Geschwindigkeit des Schiffes beträgt 23 km/h und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 7 km/h.

A125)

Vergrössert man die Länge eines Rechtecks um 2 cm und verkleinert zugleich die Breite um 3 cm, so bleibt die Diagonale gleich lang. Vergrössert man stattdessen die Länge um 4 cm, so muss man die Breite um 7 cm verkleinern, wenn die Diagonale wieder gleich Lang bleiben soll. Wie lang und wie breit ist das ursprüngliche Rechteck?

Gleichung 1: $(x+2)² + (y-3)² = d²$

$$\begin{align*} (x+2)² + (y-3)² &= (x)² + (y)² &&\text{| Ausmultiplizieren} \\ x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 &= x² + y² &&\text{| $-x² -y²$} \\ 4x + 4 - 6y + 9 &= 0 &&\text{| -13} \\ 4x - 6y = -13 \\ \end{align*}$$

Gleichung 2: $(x+4)² + (y-7)² = (x)² + (y)²$

$$\begin{align*} (x+4)² + (y-7)² &= (x)² + (y)² &&\text{| Ausmultiplizieren} \\ x² + 8x + 16 + y² - 14y + 49 &= x² + y² &&\text{| $-x² -y²$} \\ 8x + 16 - 14y + 49 &= 0 \\ 8x - 14y + 65 = 0 &&\text{| -65} \\ 8x - 14y = -65 \end{align*}$$

Lösung für Y:

$$\begin{align*} 4x - 6y &= -13 &&\text{ |Umformen zu x} \\ 4x &= 6y - 13 &&\text{ |:4} \\ x &= \frac{6y - 13}{4} &&\text{ |in Gleichung 2 einsetzen} \\ 8(\frac{6y - 13}{4}) - 14y &= -65 &&\text{ |Auflösen} \\ 12y - 26 - 14y &= -65 &&\text{ |+26} \\ -2y &= -39 &&\text{ |:-2} \\ y &= 19,5 \end{align*}$$

Lösung für X:

$$\begin{align*} 4x - 6y &= -13 &&\text{ |y einsetzen} \\ 4x - 6*19,5 &= -13 &&\text{ |Auflösen} \\ 4x - 117 &= -13 &&\text{ |+117} \\ 4x &= 104 &&\text{ |:4} \\ x &= 26 \end{align*}$$

Lösung: Das ursprüngliche Rechteck ist 26 cm lang und 19,5 cm breit.

Gleichungsysteme mit 3 Variablen

Jede Gleichung entspricht einer Ebene im 3D Raum. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt der 3 Ebenen.

• Gleichung 1: $7x - 6y + 5z = 18$
• Gleichung 2: $5x + 3y - 4z = 28$
• Gleichung 3: $8x + 2y + 3z = 26$

Lösung mit Additionsverfahren
Eleminieren 1 Variabel
Y zuerst eliminieren

$$\begin{align*} &&\text{I: }7x - 6y + 5z &= 18 \\ &&\text{2* II: }10x + 6y - 8z &= 56\\ &&\text{IV: } 17x - 3z &= 74 \\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} &&\text{I: } 7x - 6y + 5z &= 18 \\ &&\text{3* III: } 24x + 6y + 9z &= 78\\ &&\text{V: } 31x + 14z &= 96 \end{align*}$$

In Gleichung einsetzen und dannach y ausrechnen

$$(x=)x = 4$$

$$(y=) z= -2$$

$$y= 0$$

• Gleichung 1: $x+ y + z = 60$

• Gleichung 2: $x- 3y + 2z =-4$

• Gleichung 3: $2x + 5y - 5z = 68$

• Lösung mit Additionsverfahren Eleminieren 1 Variabel
  X zuerst eliminieren

$$\begin{align*} &&\text{I: }x + y + z &= 60 \\ &&\text{II subtrahieren von I } \\ &&\text{II: }x - 3y + 2z &= -4 \\ &&\text{IV: } 4y - z &= 64\\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} &&\text{2* I: }2x + 2y + 2z &= 120 \\ &&\text{III subtrahieren von I } \\ &&\text{III: }2x + 5y - 5z &= 68 \\ &&\text{V: } - 3y + 7z &= 52 \end{align*}$$

In Gleichung einsetzen und dannach x ausrechnen

$$y=16$$

$$z=20$$

$$x=24$$

• Gleichung 1: $4x+y=25$
• Gleichung 2: $x+2z=30$
• Gleichung 3: $3y+z=40$

Lösung mit Additionsverfahren

A169)

Ein Kapital von Fr. 330740. ist in drei Posten zu 4%, 5% und 6% angelegt. Schlägt man nach einem Jahr die Zinsen dazu, so werden alle Posten gleich gross. Wie gross waren die Posten am Anfang?

x = posten 1
y = posten 2
z = posten 3

Gleichung 1: $x+y+z = 330'740$
Gleichung 2: $(x+ \frac{4}{100}* x) = (y + \frac{5}{100} * y)$
Gleichung 3: $(x+ \frac{4}{100}* x) = (z + \frac{6}{100} * z)$
Umformung der Gleichung 2 und 3

$$\begin{align*} x + 0.04x &= y + 0.05y &&\text{| *100} \\ 104x &= 105y \end{align*}$$

$$\begin{align*} x + 0.04x &= z + 0.06z &&\text{| *100} \\ 104x &= 106z \end{align*}$$

Ausdrücken von yy und zz durch xx:

$$\begin{align*} y &= \frac{104}{105}x \end{align*}$$

$$\begin{align*} z &= \frac{104}{106}x \end{align*}$$

Einsetzen von y und z in Gleichung 1:

$$\begin{align*} x + \frac{104}{105}x + \frac{104}{106}x &= 330'740 &&\text{ | *105*106} \\ 105*106x + 104*106x + 104*105x &= 105*106*330'740 &&\text{ | vereinfachen}\\ 11130x + 11024x + 10920x &= 11130 * 330'740 &&\text{ |vereinfachen}\\ 330740x &= 11130 * 330'740 &&\text{ | :330740}\\ x &= 111300 \end{align*}$$

Einsetzen von x in y und z:

$$\begin{align*} y &= \frac{104}{105} * 111300 &&\text{ | vereinfachen}\\ y &= 110240 \end{align*}$$

$$\begin{align*} z &= \frac{104}{106} * 111300 &&\text{ | vereinfachen}\\ z &= 109200 \end{align*}$$

Lösung Die Posten waren am Anfang 111'300 Fr., 110'240 Fr. und 109'200 Fr. gross.

Kombinatorik

Spielerisches Ausprobieren

7 Spielfiguren 7 Farben Möglichkeiten:

• 2 Figuren 2 Möglichkeiten
• 3 Figuren 6 Möglichkeiten
• 4 Figuren 24 Möglichkeiten
• 5 Figuren 120 Möglichkeiten
• 6 Figuren 720 Möglichkeiten
• 7 Figuren 5040 Möglichkeiten

$$\begin{align*} 2! &= 2 \\ 3! &= 6 \\ 4! &= 24 \\ 5! &= 120 \\ 6! &= 720 \\ 7! &= 5040 \end{align*}$$

Vier Würfel, 6 Zahlen Möglichkeiten:
6⁴ = 1296 Möglichkeiten

45 Zahlen Sechs Werden Gezogen:
45! * 6! = 8'145'060 Möglichkeiten -> x
100 / x = 0.0000000123% Wahrscheinlichkeit

4 Münzen, Zwei Davon Auswählen:
6 Möglichkeiten
4*3 / 2 = 6 Möglichkeitens

Einführung in die Kombinatorik

Produktregel
Ein Vorgang hat k Stufen. In den einzelnen Stufen gebe es n1, n2, n3, ..., nk Möglichkeiten.
Dann gibt es für den ganzen Vorgang a = n1 * n2 * n3 * * ... * nk Möglichkeiten.

• Wobei die Anzahl Möglichkeiten einer Stufe nicht davon abhängt, was vorher gewählt wurde.

Aufgabe 2-5

A2)

Wie viele 5-stellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, bilden?
Lösung
111, 222, 333, 123, 132, 213, 231, 321, 312, 311, 211, 133, 113...

$$\begin{align*} 3*3*3*3*3 &= 243 \end{align*}$$

Es lassen sich 243 5-stellige Zahlen bilden.

A3)

Eine Firma verkauft den Bürostuhl “Capo” in 3 verschiedenen Grossen und in 6 ver- schiedenen Farben. Ferner kann der Kunde wählen, ob der Stuhl fahrbar sein soll oder nicht. Wie viele verschiedene Bürostühle des Modelles “Capo” bietet die Firma zum Verkauf an? Lösung 3 Grössen * 6 Farben * 2 Möglichkeiten

$$\begin{align*} 3*6*2 &= 36 \end{align*}$$

Es gibt 36 verschiedene Bürostühle des Modells “Capo”.

A4)

In einem französischen Restaurant werden bei einem Menii mit 4 Gängen Auswahl- möglichkeiten angeboten: zuerst ein Salat oder eine Suppe, anschliessend 4 verschiedene Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 5 Desserts. Wie viele Bestellmoglichkeiten gibt es, wenn kein Gang ausgelassen wird?
Lösung
2 Möglichkeiten * 4 Möglichkeiten * 3 Möglichkeiten * 5 Möglichkeiten

$$\begin{align*} 2*4*3*5 &= 120 \end{align*}$$

Es gibt 120 Bestellmöglichkeiten.

A5)

Ein Sportgeschäft verkauft Schlittschuhe für Damen und für Herren in je 2 Qualitäten und 20 verschiedenen Schuhgrössen. Wie viele Schlittschuhpaare muss das Geschäft am Lager haben, wenn jedes mögliche Paar dreifach vorhanden sein soll?

Lösung
2 Qualitäten * 20 Schuhgrössen * 3 Schuhe pro Sorte

$$\begin{align*} 2*20*3 &= 120 \end{align*}<y>$$

Das Geschäft muss 120 Schlittschuhpaare am Lager haben.

A6)

Ein Morse-Zeichen wird mit Punkten und Strichen gebildet.
Beispiele: A: . _ B: _ ... T: _ Z: _ _ ..

a) Wie viele 3-stellige Morsezeichen sind möglich?
2³ = 8 Möglichkeiten
b) Wie viele höchstens 4-stellige Morsezeichen sind möglich?
2¹ = 2 Möglichkeiten
2² = 4 Möglichkeiten
2³ = 8 Möglichkeiten
2⁴ = 16 Möglichkeiten
= 30 Möglichkeiten

A7)

Auf einem Parkplatz sind noch 6 Parkplätze frei. Gleichzeitig kommen
a) 3 Autos an. b) 5 Autos An. c) 6 Autos an. d) 8 Autos an
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die freien Parkplätze zu belegen?
Lösung
a) 654 = 120 Möglichkeiten
b) 65432 = 720 Möglichkeiten
c) 654321 = 720 Möglichkeiten
d) 876543 = 20160 Möglichkeiten

A10)

Wie viele 5-stellige
0) Zahlen gibt es?

1. Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es?
2. ungerade Zahlen gibt es?
3. Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern gibt es?
4. Zahlen mit lauter verschiedenen ungeraden Ziffern gibt es?
5. Zahlen mit lauter verschiedenen geraden Ziffern gibt es?
6. gerade Zahlen gibt es?
7. Zahlen mit lauter verschiedenen geraden Ziffern gibt es?

Lösung

0. $9*10*10*10*10 = 90000$ Möglichkeiten
1. $5*5*5*5*5 = 5⁵ = 3125$ Möglichkeiten
2. $9*10*10*10*5 = 45000$ Möglichkeiten
3. $9*9*8*7*6 = 27216$ Möglichkeiten
4. $5*4*3*2*1 = 120$ Möglichkeiten
5. $4*5*5*5*5 = 2500$ Möglichkeiten
6. $9*10*10*10*5 = 45000$ Möglichkeiten
7. $4*4*3*2*1 = 96$ Möglichkeiten

Fakultät

$5! = 5*4*3*2*1 = 120$ Möglichkeiten

Die Fakultät einer Zahl n $\mathbb{e}$ $\mathbb{N}$ ist wie folgt definiert:

$$\begin{align*} n! &= n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 0! &:= 1 \text{Festlegung} \end{align*}$$

Beispiele

• $10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800$
• $9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880$
• $69! = 69*68*67*...*3*2*1 = 171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000$
• $70! = 70*69*68*67*...*3*2*1 = 11978571669969891796072783721689098736458938142546425857555362864628009582789845319680000000000000000$

Rechnen:

1. $71!/69! = 71*70 = 4970$

$$\begin{align*} \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} &= \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{7 - 1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ &= \frac{5! \cdot 7}{7!} \\ &= \frac{1}{840} \end{align*}$$

Tupel mit und ohne Wiederholung

Allgemeine Formel
$n^k$ = Anzahl Möglichkeiten

Allgemeine Formel $n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)$ = Anzahl Möglichkeiten
$n!/(n-k)!$ = Anzahl Möglichkeiten
Bsp 2) $\frac{26*25*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}{20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1} = \frac{n!}{(n-k)!}$ = Anzahl Möglichkeiten
Taschenrechner: n npr k = Anzahl Möglichkeiten

Permutationen (Umstellungen, Anordnungen)

Eine Permutation ist eine bestimmte Anordnung von n Elementen.
Das ist ein Spezialfall von oben (Tupel o. W.) mit n = k.
Beispiel:
Anzahl Möglichkeiten 10 Personen auf 10 Stühle zu verteilen: Grundmenge {1-10}n=10, Länge des Tupels k=10, $10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=10! = 3628800 Möglichkeiten$

Teilmengen ohne Wiederholung

Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 Personen auf 5 Stühle zu platzieren?

1. Die Personen sind unterscheidar, d.h es kommt darauf an, we auf welchem Stuhl sitzt.
   $a = 5*4*3 = 60$ Möglichkeiten
2. 3 Personen auf 3 Stühlen: (Alle Anordnungen bei denen die Stühle 1, 3 und 5 besetzt sind)
   • $a = 3! = 6$ Möglichkeiten
   • Dh: Für 6 Lösungen der Aufgabe 1. gibt es nur eine Lösung der Aufgabe 2.
3. Die Personen sind nicht unterscheidbar, d.h es kommt nur darauf an, wie viele Personen auf welchem Stuhl sitzen.
   • $a = 5*4*3/3! = 60/6 = 10$ Möglichkeiten
4. Wie wäre das mit 2 oder 4 Personen auf 5 Stühlen?
   • 2 Personen auf 5 Stühlen: $a = 5*4/2! = 10$ Möglichkeiten
   • 4 Personen auf 5 Stühlen: $a = 5*4*3*2/4! = 5$ Möglichkeiten

Allgemein:
Die anzahl Möglichkeiten, aus eine Menge mit n Elementen eine Teilmenge mit genau k Elementen auszuwählen, beträgt:

$$\begin{align*} a = \frac{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{align*}$$

Beispiel:

1. Wie viele Wörter bestehend aus 7 'a' und 4 'b' gibt es?
   • zb: abbaaabaaab.
   • 11 Plätze, 7 'a' und 4 'b' auf 11 Plätze verteilen.
   • wähle von den 11 Positionen 4 für die 'b' aus. Auf allen anderen Plätzen stehen 'a'.
   • $n=11, k=4, a = \frac{11*10*9*8}{4!} = 330$ Möglichkeiten
2. Oder: Wähle sieben der 11 Plätze für die 'a's aus. Auf den anderen Plätzen stehen 'b'.
   • $n=11, k=7, a = \frac{11*10*9*8*7*6*5}{7!} = 330$ Möglichkeiten

Übungsaufgaben

Hier sind die transkribierten Textaufgaben:

39

a)

5 weisse und 3 schwarze Kugeln sollen auf 8 Plätze gelegt werden. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?
8 Plätze, 3 Schwarze auf Plätze verteilen, Rest sind weisse Kugeln.
$n=8, k=3, a = \frac{8*7*6}{3!} = 56$ Möglichkeiten

b)

Wie viele 5-elementige Teilmengen hat eine Menge mit 8 Elementen?
n=8, k=5, $a = \frac{8*7*6*5*4}{5!} = 56$ Möglichkeiten

c)

Wie viele 3-elementige Teilmengen hat eine Menge mit 8 Elementen?
n=8, k=3, $a = \frac{8*7*6}{3!} = 56$ Möglichkeiten

40

Eine 6-stellige Zahl des Zehnersystems lasse sich mit 4 Zweien und 2 Fünfern schreiben. Wie viele solche Zahlen gibt es?
6 Plätze, 4 Zweien und 2 Fünfen auf Plätze verteilen.
$n=6, k=4, a = \frac{6*5*4*3}{4!} = 15$ Möglichkeiten

41

Auf dem Bildschirm eines Computers sind 100 Geraden dargestellt. Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens?
100 Geraden, 2 Geraden schneiden sich in einem Punkt.
$n=100, k=2, a = \frac{100*99}{2!} = 4950$ Möglichkeiten
Erklärung:

• Für einen schnittpunkt braucht es 2 Geraden.
• Anzahl Schnittpunkte = Anzahl Möglichkeiten, 2 Geraden aus 100 auszuwählen.
  Oder:
  Anzahl Schnittpunkte = $1+2+3+4+...+99 = 4950$ Möglichkeiten

Formel Binomialkoeffizient

$$\begin{align*} \binom{n}{k} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{align*}$$

• heisst Binomialkoeffizient. Schreibweise: $\binom{n}{k}$
• man sagt "n tief k".
• taschenrechner: nCr(n,k)
  zb: $\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = 165$ Möglichkeiten
  übrigens: $\binom{11}{8}= 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1/8*7*6*5*4*3*2*1 = 165$ Möglichkeiten
  Allgemein gilt:
  $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Übungsaufgaben

42

Auf einem Kreis sind 20 Punkte eingezeichnet; sie bilden die Menge P. Wie viele Kreissehnen mit Endpunkten aus P lassen sich zeichnen?
$\binom{20}{2} = \frac{20*19}{2!} = 190$ Kreissehnen

43

Die Menge M besteht aus 50 Punkten. Wie viele Dreiecke mit Ecken aus M gibt es höchstens? $\binom{50}{3} = \frac{50*49*48}{3!} = 19600$ Dreiecke

70 Personen verabschieden sich. Wie viele Händedrücke gibt es? $\binom{70}{2} = \frac{70*69}{2!} = 2415$ Handshakes

45 Es warf eine Münze 30-mal. Dabei erhielt er 18-mal "Kopf". Wie viele verschiedene Sequenzen der Länge 30 enthalten genau 18-mal "Kopf"?
$\binom{30}{12} = 86493225$ Sequenzen

Exkurs: Potenzen von Binomen und das Pascal-Dreieck

(a+b)⁰ = 1
(a+b)¹ = $a+b$
(a+b)²
$(a+b)² = a² + 2ab + b² =$ Binomische Formel

(a+b)³
$(a+b)³ = (a+b) * (a+b)²$
$(a+b) * (a² + 2ab + b²)$
$= a³ + 2a²b + ab² +$
$a²b + 2ab² + b³$
$= a³ + 3a²b + 3ab² + b³$

(a+b)⁴
$(a+b)⁴ = (a+b) * (a+b)³$
$= (a+b) * (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)$
$= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴$

(a+b)⁵
$(a+b)⁵ = (a+b) * (a+b)⁴$
$= (a+b) * (a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴)$
$= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵$

(a+b)⁶
$(a+b)⁶ = (a+b) * (a+b)⁵$
$= (a+b) * (a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵)$
$= a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶$

(a+b)⁷
$(a+b)⁷ = (a+b) * (a+b)⁶$
$= (a+b) * (a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶)$
$= a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷$

Pascal-Dreieck

(a+b)⁵= 1 5 10 10 5 1
(a+b)⁵= 1a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
(a+b)⁶= 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)⁶= 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

$\binom{6}{2} = \frac{6*5}{1*2} = 15$
vermutung:
Die Zahlen des Pascal'schen Dreiecks sind die Binomialkoeffizienten.

Berrechnnung Zeile 25, Spalte 7: $\binom{25}{7}= 480700$
Begründung: Aus 13 Anwesenden der Klasse 2i soll eine Viererdelegation gebildet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt dazu?

a) Insgesamt: $\binom{13}{4} = 715$ Möglichkeiten
b) ohne Adrian: $\binom{12}{4} = 495$ Möglichkeiten
c) mit Adrian: $\binom{12}{3} = 220$ Möglichkeiten
-> $\binom{12}{3} + \binom{12}{4} = \binom{13}{4} = 715$ Möglichkeiten
allgemein: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$
Damit ist die Übereinstimmung der Zahlen des Pascaldreiiecks mit den $\binom{n}{k}$ bewiesen.
q.e.d = quod erat demonstrandum = was zu beweisen war.

Der Binomische Lehrsatz

Verallgemeinerung der obigen Beispiele
$(a+b)^n$ = $\binom{n}{0}a^n*b⁰ + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}a⁰b^n$
$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ = Schreibweise mit dem Summenzeichen.

Beispiel:
(3p+q²)⁴
=1(3p)⁴ 4(3p)³*(q²) + 6(3p)²*(q²)² + 4(3p)⁴*(q²)³ + 1(q²)⁴
=3⁴p⁴ + 43³p³q² + 63²p²q⁴ + 43*q⁶ + q⁸
=81p⁴ + 108p³q² + 54p²q⁴ + 12pq⁶ + q⁸

Übungsaufgaben 193

e) $(k+\frac{1}{2})²$
=1k⁶

Zeilessumme des Pascal-Dreiecks

1. Zeile: 1
2. Zeile: 1+1=2
3. Zeile: 1+2+1=4
4. Zeile: 1+3+3+1=8
5. Zeile: 1+4+6+4+1=16
6. Zeile: 1+5+10+10+5+1=32
7. Zeile: 1+6+15+20+15+6+1=64
8. Zeile: 1+7+21+35+35+21+7+1=128
9. Zeile: 1+8+28+56+70+56+28+8+1=256
10. Zeile: 1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512
11. Zeile: 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024
12. Zeile: 1+11+55+165+330+462+462+330+165+55+11+1=2048
13. Zeile: 1+12+66+220+495+792+924+792+495+220+66+12+1=4096
14. Zeile: 1+13+78+286+715+1287+1716+1716+1287+715+286+78+13+1=8192
15. Zeile: 1+14+91+364+1001+2002+3003+3432+3003+2002+1001+364+91+14+1=16384
16. Zeile: 1+15+105+455+1365+3003+5005+6435+6435+5005+3003+1365+455+105+15+1=32768
17. Zeile: 1+16+120+560+1820+4368+8008+11440+12870+11440+8008+4368+1820+560+120+16+1=65536
18. Zeile: 1+17+136+680+2380+6188+12376+19448+24310+24310+19448+12376+6188+2380+680+136+17+1=131072
19. Zeile: 1+18+153+816+3060+8568+18564+31824+43758+48620+43758+31824+18564+8568+3060+816+153+18+1=262144
20. Zeile: 1+19+171+969+3876+11628+27132+50388+75582+92378+92378+75582+50388+27132+11628+3876+969+171+19+1=524288

Formel

$2^n$ = Zeilensumme des Pascal-Dreiecks
-> Begründung:

• Summe der Zeile 0 ist 1 = $2^0$
• Jede Zahl fliesst zwei mal in die nächste Zeile ein. -> Verdopplung der Summe.

Vermischte Aufgaben

Zwei kleine Vereine wollen sich zusammenschliessen. Der eine Verein hat 15 Mitglieder, der andere nur deren 12. Die Vereinsvorstände beschliessen, zu diesem Zweck eine Kommission einzusetzen, die aus einem Drittel der Mitglieder jedes Vereins besteht. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen der Kommission sind denkbar?
-> Verein 1. Hat 15 Mitglieder, daher 5 Mitglieder in der Kommission
-> Verein 2. Hat 12 Mitglieder, daher 4 Mitglieder in der Kommission
-> $\binom{15}{5} = 3003$ Möglichkeiten für Verein 1.
-> $\binom{12}{4} = 495$ Möglichkeiten für Verein 2.
Produktregel ist relevant
-> $3003*495 = 1'485'485$ Möglichkeiten für die Kommission.
75. 8 Schüler wollen in einer Halle Fussball spielen. Wie viele Einteilungen in zwei ViererMannschaften sind denkbar
-> $\binom{8}{4} = 70$ Möglichkeiten für die erste Mannschaft.
-> $\binom{4}{4} = 1$ Möglichkeiten für die zweite Mannschaft.
-> $70*1 = 70$ Möglichkeiten für die Einteilung in zwei Mannschaften.
Aufgrund jeder einteilung doppelt zählt, muss durch 2 geteilt werden. -> 35 Möglichkeiten.

78. Ein Verein von 20 Frauen und 16 Männern bildet eine Kommission mit 5 Frauen und 4 Männern. Wie viele Möglichkeiten gibt es dazu?
-> $\binom{20}{5} = 15504$ Möglichkeiten für die Frauen.
-> $\binom{16}{4} = 1820$ Möglichkeiten für die Männer.
-> $15504*1820 = 282'528'000$ Möglichkeiten für die Kommission.
-> Lösung: 282'528'000 Möglichkeiten.

Wie viele auswahlmöglichkeiten von Gumibärchen gibt es, die gümmibärchen in 5 verschiedenen Farben anbieten? Man wählt 8 aus. -> $\binom{5}{8} = 56$ Möglichkeiten. -> $n^k = 5^8 = 390625$ Möglichkeiten.

Fixe Reihenfolge der Farben festlegen, z.b. weiss - gelb - orange - rot - grün.

Zahnstöceher als Trennlinien zwischen zwei Farben setzen.

• 4 Trennlinien auf 12 Plätze setzen. $\binom{12}{4} = 495$ Möglichkeiten.
• Jede Trennlinien annordnung entspricht einer Gummibärchenanordnung.
• Anzahl Möglichkeiten: $\binom{12}{4} = 495$ Möglichkeiten.

12 Plätze 4 plätze auswählen: $\binom{12}{4} = 495$ Möglichkeiten.

Allgemein:

Die Anzahl möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen auszuwählen, beträgt:
a = $\binom{n+k-1}{n-1} = \binom{n+k-1}{k}$

Aufgaben zu Teilmengen mit Wiederholung ("Trennlinien"-Aufgaben)

1. Wieviele Möglichkeiten gibt es,

   • 10 Schokoladen aus 3 Sorten auszuwählen?
   • 3 Schokoladen aus 10 Sorten auszuwählen?
     • 10 + 3 - 1 = 12, 2 auswählen: $\binom{12}{2} = 66$ Möglichkeiten.
     • 9 Trennlinien aus 12 Plätzen auswählen: $\binom{12}{9} = 220$ Möglichkeiten.

2. Wieviele Möglichkeiten gibt es, einen Coupe mit 5 Kugeln Glace aus 3 verschiedenen Glacesorten zusammenzustellen?

• 5 Kugeln aus 3 Sorten auszuwählen: $\binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$ Möglichkeiten.

3. Gummibärchenorakel: Es gibt weisse, gelbe, orange, rote und grüne Gummibärchen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus einer vollen Tüte fünf Gummibärchen zu ziehen?

• 5 Gummibärchen aus 5 Sorten auszuwählen: $\binom{5+5-1}{5-1} = \binom{9}{4} = 126$ Möglichkeiten.

4. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 20 Paar gleich aussehende Socken in vier Schubladen zu versorgen?

   • 20 Paar Socken in 4 Schubladen zu versorgen: $\binom{20+4-1}{4-1} = \binom{23}{3} = 1771$ Möglichkeiten.

5. Auf wie viele Arten lässt sich eine Klasse von 15 Schülern in die drei Gruppen A, B, C einteilen? Dabei soll es keine Rolle spielen, wer in welcher Gruppe ist, sondern nur, wie viele Schüler in jeder Gruppe sind. a) Es darf auch leere Gruppen geben.
   b) In jeder Gruppe muss mindestens ein Schüler sein.
   c) In jeder Gruppe müssen mindestens vier Schüler sein.
   d) In keiner Gruppe dürfen mehr als 10 Schüler sein.

• a) $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$ Möglichkeiten.
• b) $\binom{15-1}{3-1} = \binom{14}{2} = 91$ Möglichkeiten.
• c) Nur noch 3 Schüler übrig, die in die Gruppen verteilt werden können. $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ Möglichkeiten.
• d) 136 - 5 Optione da nicht mehr als 10 Schüler in einer Gruppe sein dürfen. 131 Möglichkeiten -> $binom

Permutation

Permutation ohne Wiederholung

Wie viele Wörter lassen sich aus den Buchstaben B,A,U,M bilden?
432*1 = 24 Möglichkeiten. -> 4! = 24 Möglichkeiten.

Permutation mit Wiederholung

Wie viele Wörter lassen sich aus den Buchstaben A,A,A,N,N,S bilden?
333221 = 108 Möglichkeiten. -> 3³2² = 108 Möglichkeiten?
-> Falsch, da die Buchstaben A und N mehrfach vorkommen.
-> 6!/(3!2!) = 60 Möglichkeiten.
formel: n!/(n₁!n₂!...nₖ!) = Anzahl Möglichkeiten $n!/(n₁!n₂!...nₖ!)$ Allgemein Die Anzahl Möglichkeiten, m1 Objekte der Sorte 1, m2 Objekte der sorte 2, ... mk Objekte der Sorte k in einer Reihe anzuordnen, beträgt:

$$\begin{align*} a = \frac{m₁+m₂+...+mk}{m₁!m₂!...mk!} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \frac{\left(\sum_{i=1}^k m_i\right)!}{\prod_{i=1}^k (m_i!)} \end{align*}$$

Übungsaufgaben

1. Wie viele 8-stellige Sequenzen kann man mit den Buchstaben des Wortes ANAKONDA bilden?
   1. $\frac{8!}{3!2!} = 3360$ Möglichkeiten.
2. Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich mit den Ziffern 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 7, 7, 8 bilden?
   1. $\frac{10!}{4!3!2!} = 4200$ Möglichkeiten.
3. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten für 16 Kugeln auf 16 Plätze gibt es, wenn 5 rote, 5 blaue, 3 schwarze, 2 grüne und eine weisse Kugel vorhanden sind?
   1. $\frac{16!}{5!5!3!2!1!} = 5'241'600$ Möglichkeiten.
4. 8 weisse und 4 schwarze Spielsteine sind auf 12 Plätze zu verteilen. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?
   1. $\frac{12!}{8!4!} = 495$ Möglichkeiten.

Mengen und Logik

10.1 Mengen

Beispeil:

$$\begin{align*} \text{Beispiel:} \\ A &= \text{Menge der Teiler von 24} \\ &= \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} &\text{(in Worten)} \\ &= \{ x \in \mathbb{N} \mid 24 \% x = 0 \} &\text{(mathematisch mit Bedingung)} \\ &= \{ x \in \mathbb{N} \mid \exists k \in \mathbb{N} : k \cdot x = 24 \} &\text{(sodass)} \\ \end{align*}$$

Aufgaben (Dossier Alg1 Kap4, siehe 10.-)

Zu 1-8:

Schreibe in der aufzählenden Form.

$$\begin{align*} T_{16} &= \{1, 2, 4, 8, 16\} \\ V_{12} &= \{12, 24, 36, \ldots\} \end{align*}$$

4

Die Menge der Grossbuchstaben des Alphabets mit einer vertikalen Symmetrieachse.

$$\{A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y\}$$

Zu 9, 10:

Wahr oder falsch?

$$\begin{align*} \{1, 2, 3, 4, 5\} &= \{5, 4, 3, 2, 1\} \quad \text{wahr} \\ \{5, 10, 15, 20\} &\neq \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ ist Vielfaches von } 5\} \quad V_5 = \{5, 10, 15, 20, \ldots\} \end{align*}$$

Zu 11, 12:

Gib die Menge in beschreibender Form an.

$$\begin{align*} A &= \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots\} &&= \text{Menge aller Quadratzahlen} = \{ x \mid \sqrt{x} \in \mathbb{N} \} \\ B &= \{2, 4, 8, 16, 32, \ldots\} &&= \text{Menge der Zweierpotenzen mit Exponent } \geq 1 \\ C &= \{20, 21, 22, 23, \ldots\} &&= \{ x \in \mathbb{N} \mid x \geq 20 \} \\ D &= \{7, 8, 9, \ldots, 20\} &&= \{ x \in \mathbb{N} \mid x \geq 7 \land x \leq 20 \} \end{align*}$$

Venn-Diagramme

A = {1, 2, 3,4,6,8,12,24}
B = {1, 3, 5, 15}
C = {1,2,3,4,8}

Wie vielde Felder hat das Venn-Diagramm für 3 Mengen? $8$
Challange:
Venn-Diagramm für 4 Mengen?

Um auszudrücken, dass die Menge $$ A $$ Teilmenge oder Untermenge der Menge $$ B $$ ist, schreibt man $$ A \subseteq B $$ (oder $$ B \supseteq A $$). Dies besagt, dass jedes Element von $$ A $$ auch zu $$ B $$ gehört. $$ B $$ heisst dann eine Obermenge von $$ A $$. Umgekehrt bedeutet die Schreibweise $$ A \nsubseteq B $$, dass mindestens ein Element von $$ A $$ nicht zu $$ B $$ gehört. Falls $$ A $$ und $$ B $$ kein Element gemeinsam haben, nennt man sie elementfremd. Die leere Menge enthält kein Element, sie wird mit $$ {} $$ bezeichnet. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Alle Objekte, die bei einer Mengenbetrachtung zugelassen sind, bilden die Grundmenge $$ G $$, und die beteiligten Mengen sind als Teilmengen von $$ G $$ zu betrachten.

Beispiel 1) Mengen A, B, C von oben

C ⊆ A , A ⊆ C , aber B ⊄ A
ist Teilmenge von ist keine Teilmenge von

2. Alle Teilmengen von {3, 5}:

{3} , {5}

1. First Truth Table

1. First Truth Table

Let's rewrite the first truth table without using math symbols.

Expressions:

• A \land \neg B $$: A AND NOT B

• A \text{ xor } \neg B $$: A XOR NOT B

2. Second Truth Table

Expressions:

• (A \land B) \lor C $$: (A AND B) OR C

• (A \text{ xor } B) \land C $$: (A XOR B) AND C

|---|---|---|----------------|--------------------|-----------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

These tables are now written with less mathematical notation for clarity.

Übungsaufgaben

Aufgaben zu den Logikgesetzen

1. Beweisen Sie die beiden De Morganschen Gesetze durch Ausfüllen von Wahrheitstabellen.

Erstes Gesetz: $$\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$$

Zweites Gesetz: $$\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$$

responding to the given truth table. We'll use the disjunctive normal form (DNF) as per the instructions. Here's how we can derive the logical expression:

1. For each row where the output is 1, write the corresponding conjunction (AND) of the variables.
2. The variables are in true form if their value is 1 and in negated form if their value is 0.
3. Finally, combine all the conjunctions using disjunctions (OR).

Let's analyze the columns:

Column a)

Output is 1 for the following rows:

• (0, 1, 0): !A & B & !C
• (0, 1, 1): !A & B & C
• (1, 1, 0): A & B & !C
• (1, 1, 1): A & B & C

Thus, the logical expression for column a) is:

$$(!A \& B \& !C) | (!A \& B \& C) | (A \& B \& !C) | (A \& B \& C)$$

Column b)

Output is 1 for the following rows:

• (0, 0, 0): !A & !B & !C
• (0, 0, 1): !A & !B & C
• (0, 1, 0): !A & B & !C
• (1, 0, 0): A & !B & !C
• (1, 0, 1): A & !B & C

Thus, the logical expression for column b) is:

$$(!A \& !B \& !C) | (!A \& !B \& C) | (!A \& B \& !C) | (A \& !B \& !C) | (A \& !B \& C)$$

Column c)

Output is 1 for the following rows:

• (0, 0, 1): !A & !B & C
• (0, 1, 0): !A & B & !C
• (0, 1, 1): !A & B & C
• (1, 1, 0): A & B & !C
• (1, 1, 1): A & B & C

Thus, the logical expression for column c) is:

$$(!A \& !B \& C) | (!A \& B \& !C) | (!A \& B \& C) | (A \& B \& !C) | (A \& B \& C)$$

Java Annotations

Below are the Java annotations for the conditions of each column:

// Column a)
boolean a = (!A && B && !C) || (!A && B && C) || (A && B && !C) || (A && B && C);

// Column b)
boolean b = (!A && !B && !C) || (!A && !B && C) || (!A && B && !C) || (A && !B && !C) || (A && !B && C);

// Column c)
boolean c = (!A && !B && C) || (!A && B && !C) || (!A && B && C) || (A && B && !C) || (A && B && C);

This code represents the logical expressions derived from the truth table in the disjunctive normal form using Java syntax.

11.1 Lineare Gleichungssysteme

Eine Lineare Gleichumg mit X und Y definiert eine Gerade im Koordinatensystem.

$$\begin{align*} x+2y &= 6 \\ 2y &= 6-x \\ y &= 3-\frac{1}{2}x \\ \end{align*}$$

• Ein System von linearen Ungleichungen mit x und y definiert...?
  • I: $x + 2y \geq 6$
  • II: $x - y \leq 4$
  • III: $x -1 \leq y$

$y \geq 2$ und $x \leq 3$